SÉISMES ET SISMOLOGIE - Le génie parasismique


SÉISMES ET SISMOLOGIE - Le génie parasismique
SÉISMES ET SISMOLOGIE - Le génie parasismique

Le génie parasismique a pour objet la réalisation d’ouvrages et d’installations capables de résister dans de bonnes conditions à des secousses d’un certain niveau d’intensité. Cette définition demande à être complétée, en premier lieu, par la spécification de ce que doit être le comportement des ouvrages pour que l’on puisse s’en déclarer satisfait, en second lieu, par l’indication du niveau d’intensité au-delà duquel on renonce à obtenir avec certitude ce résultat.

Il apparaît en effet que la protection complète des constructions, c’est-à-dire la recherche de niveaux de sécurité et de fiabilité comparables à ceux auxquels on s’astreint vis-à-vis des actions d’une autre nature (charges d’exploitation, vent, neige, etc.), demeure, dans le domaine parasismique, présentement hors de la portée, sinon de nos technologies, du moins, dans la généralité des cas, de nos économies. Du fait de la limitation des ressources des individus et de la collectivité, on est le plus souvent amené à opérer un arbitrage entre les exigences de sécurité et le coût des mesures de protection.

Les raisons de cette situation sont essentiellement les suivantes:

– pour tirer parti des possibilités d’absorption et de dissipation d’énergie offertes par les structures dans le domaine post-élastique (cf. infra , Mécanismes généraux ), on est conduit à accepter que les ouvrages subissent de grandes déformations; cela revient à tolérer un certain degré d’endommagement, notamment en ce qui concerne les éléments non structuraux fragiles;

– l’action sismique est une action multiforme dont la définition à peu près complète nécessite l’introduction de plusieurs paramètres dont les valeurs les plus défavorables ne sauraient être atteintes simultanément; plutôt que d’envelopper tous les cas, on se résout à négliger les fractiles supérieurs de leur distribution; il en résulte des possibilités de réalisations défavorables;

– enfin, la probabilité d’occurrence en un certain site, d’une secousse d’intensité donnée, décroît de façon extrêmement rapide avec la valeur assignée à cette intensité, alors qu’inversement le coût de la protection parasismique, relativement peu important tant qu’on ne considère que des intensités modérées, finit par s’élever rapidement avec l’intensité de calcul; il en résulte que le bénéfice que l’on peut s’attendre à retirer du choix d’une intensité de calcul élevée, c’est-à-dire la réduction de l’espérance mathématique des pertes au cours d’une certaine durée de référence, peut ne plus justifier le sacrifice financier consenti pour les frais de premier établissement.

Les conséquences d’un éventuel sinistre tant en ce qui concerne les pertes en vies humaines qu’en ce qui concerne les pertes économiques pèsent de façon déterminante dans la décision. On est effectivement conduit à distinguer en gros deux catégories d’installations: – d’une part, les installations dites «à haut risque», c’est-à-dire celles pour lesquelles des désordres, même mineurs, peuvent avoir des suites extrêmement graves pour la population et l’environnement – il en est ainsi par exemple des industries chimiques traitant ou stockant des produits hautement toxiques et susceptibles de se répandre, des installations mettant en jeu la sécurité nucléaire, des grands barrages;

– d’autre part, les ouvrages à risque dit «normal», c’est-à-dire ceux dans lesquels les conséquences d’un sinistre restent circonscrites aux dommages immédiats subis par l’ouvrage, ses occupants et son contenu – c’est le cas de la grande généralité des constructions civiles ou industrielles et autres ouvrages de génie civil.

Pour ces derniers, on est amené à se satisfaire d’exigences de sécurité raisonnablement limitées dans les conditions indiquées plus haut. La valeur de l’intensité à prendre en compte dans la préparation d’un projet est donnée par les codes ou règles de construction parasismique en fonction de la sismicité du site et de la fréquentation de l’ouvrage ou de son importance socio-économique. Les textes ne donnent toutefois que les minimums imposés par les pouvoirs publics des points de vue de la sécurité publique et de la survie économique de la région. Les maîtres d’ouvrage restent libres d’imposer des conditions plus sévères.

Le cas des installations à haut risque relève au contraire d’une conception particulièrement rigoureuse de la sécurité. L’intensité de calcul est déterminée cas par cas au terme d’une étude sismo-tectonique spécifique, et est fixée à la plus grande valeur raisonnablement envisageable sur le site. Les exigences de comportement sont arrêtées d’après les divers scénarios d’accident possibles; elles peuvent se traduire par la condition que certains états limites qui seraient normalement considérés comme des états de service soient traités comme des états ultimes dans les vérifications de sécurité. Il peut en résulter en particulier l’interdiction de laisser certaines parties d’ouvrage subir des déformations sortant du domaine élastique.

1. Le mouvement sismique

L’action sismique consiste en un mouvement vibratoire du sol de forte amplitude et de durée brève (de quelques secondes à quelques dizaines de secondes) dans lequel chaque point du sol est animé dans les trois directions de l’espace de déplacements de translation de caractère aléatoire. En raison du décalage dû à la propagation du mouvement d’un point à un autre et des altérations subies par le mouvement au cours de sa propagation, les déplacements de deux points distincts ne sont ni synchrones ni identiques.

À l’échelle des dimensions en plan généralement présentées par les ouvrages, on peut considérer le mouvement sismique comme résultant de la composition d’un mouvement de translation d’ensemble dans lequel le sol se meut à la manière d’un solide indéformable, et de mouvements différentiels dont les amplitudes sont des fonctions croissantes de la distance séparant les points considérés.

Le mouvement d’un point du sol constitue un processus stochastique non stationnaire , ce qui signifie que dans un enregistrement on ne peut isoler aucun tronçon de longueur significative dont les propriétés statistiques soient à peu près identiques à celles de tout autre tronçon de même longueur prélevé dans l’enregistrement. Ce dernier ne peut donc être considéré que dans son entier. En outre, de même que deux tronçons d’un même enregistrement ne sont pas interchangeables, les enregistrements d’un même séisme obtenus en deux sites distincts, ou les enregistrements de deux séismes différents recueillis sur un même site, ne sont pas non plus interchangeables, chacun possédant sa spécificité (le processus est dit non ergodique ). Il s’ensuit que l’étude générale de l’action sismique, et notamment la définition de l’action de calcul, ne peuvent se faire qu’à partir d’une collection d’enregistrements, de façon à couvrir le plus grand nombre de cas possible.

Les enregistrements sont obtenus séparément pour chaque composante sous la forme d’accélérogrammes, c’est-à-dire de diagrammes donnant en fonction du temps les accélérations d’un point du sol au cours du mouvement (fig. 1). Les vitesses et les déplacements s’en déduisent par intégration, moyennant certaines corrections de caractère trop technique pour trouver leur place ici.

Chaque composante peut être caractérisée par l’accélération maximale a max atteinte au cours du processus, et par la forme de son spectre de réponse (cf. Réponse de l’oscillateur simple ). Le paramètre a max peut être considéré comme définissant l’intensité du mouvement (mais il ne suffit pas à caractériser son potentiel destructeur); le spectre de réponse, qui rend compte de son aptitude à exciter telle fréquence (ou période) plus fortement que telle autre, donne une représentation de son contenu fréquentiel.

Les deux composantes horizontales apparaissent comme assez imparfaitement corrélées, et leurs accélérations maximales peuvent être très différentes; cependant les traits saillants de l’une se retrouvent dans l’autre, et leurs contenus fréquentiels présentent certaines analogies. En revanche, la composante verticale montre un contenu très différent, avec prépondérance marquée des hautes fréquences.

Les caractéristiques du mouvement sismique dépendent d’un grand nombre de facteurs, notamment: magnitude; mécanisme au foyer et profondeur focale; distance du site à la source, direction de propagation, propriétés et configuration des terrains traversés; conditions géologiques, géotechniques et topographiques propres au site.

Les lois dites «d’atténuation» expriment la variation de certains des paramètres du mouvement tels que les accélérations, vitesses ou déplacements maximaux, parfois le spectre complet, en fonction de la magnitude et de la distance. Il s’agit de corrélations statistiques obtenues à partir de conditions de foyer, de propagation et de site variées, et donnant en conséquence des valeurs moyennes mais assorties d’une très forte dispersion. La figure 2 illustre l’une de ces lois; elle donne la valeur moyenne de la demi-somme des a max des deux composantes horizontales; les valeurs correspondant à la moyenne plus ou moins un écart type (fractiles 84 p. 100 et 16 p. 100) s’obtiennent par multiplication ou division par 1,45. La plus forte des deux accélérations horizontales est supérieure en moyenne de 13 p. 100 à la valeur lue sur le graphique.

L’importance relative de la composante verticale par rapport aux composantes horizontales peut être représentée par le rapport des accélérations maximales a V/a H. Ce rapport est en moyenne de 0,60 à 0,65, mais il est très variable. Quelques exemples récents montrent que la composante verticale peut largement l’emporter sur les composantes horizontales. À Nahanni (Canada, territoires du Nord-Ouest, 23 déc. 1985), on a enregistré plus de 2 g pour la composante verticale contre 1,4 g pour la composante horizontale la plus forte (g : accélération due à la pesanteur). Le mécanisme au foyer et la proximité de l’épicentre jouent un rôle déterminant en ce qui concerne cette proportion.

Les conditions locales de site ont une influence capitale sur le mouvement sismique. Le sens commun attribuerait volontiers aux formations alluvionnaires, facilement déformables, le rôle d’un amortisseur. En fait, cette atténuation ne se produit que pour les hautes fréquences et elle est très faible; en revanche, on assiste à une amplification considérable du mouvement dans la gamme des moyennes et hautes fréquences, comme le montre la figure 3. Les particularités topographiques (buttes, rebords de talus ou de falaises, éperons, changement de pente, etc.) donnent lieu à des phénomènes d’amplification importants (30 à 70 p. 100), répondant à des lois complexes.

Le potentiel destructeur d’une secousse tellurique est souvent exprimé, faute d’une meilleure indication, en termes d’intensité macrosismique (cf. L’étude macrosismique , in SÉISMES ET SISMOLOGIE – Effet des séismes). L’introduction de cette notion soulève, du point de vue de l’ingénierie, de fortes objections: il s’agit d’une grandeur simplement repérée, et non d’une grandeur mesurable, dont l’estimation présente des aspects subjectifs; elle dépend de la composition de la population de constructions à partir de laquelle elle est évaluée et de la façon dont les propriétés dynamiques de l’excitation se situent par rapport à celles des structures éprouvées.

La figure 4 montre qu’il n’existe qu’une très mauvaise corrélation entre l’intensité macrosismique et le paramètre a max, une même valeur de a max pouvant par exemple correspondre aussi bien à une intensité IX qu’à une intensité VII ou VIII. Les insuffisances de la notion d’intensité macrosismique et la variabilité du contenu fréquentiel attaché à chaque réalisation de a max n’expliquent que très imparfaitement cette dispersion. En fait, le pouvoir destructeur d’une secousse dépend non seulement de a max, mais aussi dans une large mesure de la durée du mouvement: une même valeur de l’intensité peut correspondre par exemple à un séisme de brève durée mais mobilisant en un temps très court de fortes accélérations (cas d’un séisme proche de magnitude modérée), ou encore à un séisme développant des accélérations moindres mais soutenues plus longtemps (cas d’un séisme lointain de forte magnitude).

2. Mécanismes généraux

Le mouvement sismique a pour effet d’induire dans les sols et dans les ouvrages des forces d’inertie rapidement variables dans le temps. Son action s’exerce donc de façon essentiellement dynamique, mais elle revêt des aspects différents dans les structures et dans les sols (ou dans les ouvrages relevant de la mécanique des sols). Dans le premier cas, les états limites de résistance ou de stabilité sont atteints à la suite d’oscillations ou vibrations mettant en jeu des déformations alternées; dans le second, il s’agit essentiellement de déformations permanentes de grande ampleur, accompagnées ou non de ruptures ou pertes d’équilibre, et généralement atteintes par accumulation dans une même direction de déformations permanentes élémentaires.

La partie principale des sollicitations sismiques s’exerçant sur les ouvrages en élévation est constituée par les sollicitations dynamiques consécutives à la mise en oscillation ou vibration forcée des ouvrages en réponse au mouvement vibratoire imprimé à leur base. Il s’y ajoute les sollicitations parasites de nature quasi statique résultant des déplacements relatifs imposés aux points d’appui. Ces déplacements sont la conséquence des mouvements différentiels et éventuellement des modifications provoquées dans les sols par le passage de l’onde sismique.

Action sur les sols

Les mouvements différentiels subis par les sols se traduisent par des déformations de compression-extension (ondes primaires, ondes de Rayleigh) et de cisaillement (ondes secondaires, ondes de Love). Dans les sols de consistance rocheuse, ces déformations se maintiennent sensiblement, sauf fracture, dans le domaine élastique. Dans le cas des sols de type courant, elles comportent une partie irréversible importante. L’observation montre en effet que les secousses qui n’induisent dans ces sols que des déformations élastiques, c’est-à-dire des raccourcissements ou des distorsions angulaires de l’ordre de 10-4, ne sont pas dangereuses. Les secousses dommageables sont celles susceptibles de développer des déformations relatives de l’ordre de 3 憐 10-4 au moins. Dans les secousses sévères ou dans les mauvais sols, les amplitudes peuvent prendre des valeurs de l’ordre de 10-3 et davantage.

Ces déformations (relatives) ne sont pas atteintes partout en même temps. Cependant des déformations résiduelles fort importantes peuvent être obtenues au terme d’un processus cumulatif du type évoqué plus haut. Dans les secousses sévères, elles se traduisent par la distorsion et le flambement des ouvrages longilignes enterrés ou posés sur le sol (canalisations, voies ferrées, dallages et revêtements, etc.). L’accumulation des raccourcissements de compression dans certaines zones peut avoir comme corollaire l’apparition de ruptures de cohésion ou de fissurations du sol dans d’autres zones.

Les vibrations sismiques ont aussi tendance à faire évoluer les milieux non cohérents ou faiblement cohérents et peu compacts vers des états plus denses. Il en résulte des tassements d’autant plus importants que l’état initial est plus lâche. Dans les sols naturels de caractéristiques moyennes non saturés, ils peuvent aller de 0,5 à 1 p. 100 s’il n’y a pas possibilité de relâchement des étreintes latérales, davantage si, du fait de la topographie souterraine ou de surface, le milieu n’est pas étroitement confiné. Ils peuvent prendre des proportions catastrophiques dans les remblais.

Certains sols constitués de grains fins (sables, silts) dont la granulométrie s’inscrit dans un certain fuseau critique sont susceptibles, lorsqu’ils baignent dans la nappe phréatique et se trouvent dans un état initial insuffisamment serré, de donner lieu à des phénomènes de liquéfaction . On désigne ainsi un processus dans lequel, sous l’effet de plusieurs cycles de déformations de cisaillement alternées de grande amplitude, la pression de l’eau incluse dans les interstices des grains s’élève de cycle en cycle jusqu’à égaler la pression d’étreinte: le milieu, perdant alors tout ou partie de sa résistance au cisaillement, se comporte à la manière d’un fluide et devient inapte à supporter les charges verticales apportées par les ouvrages ou les formations sus-jacentes. Les ouvrages sont exposés à subir des subsidences parfois considérables et à se déverser. Dans le cas où les couches liquéfiables sont quelque peu inclinées, des glissements de terrain affectant des volumes considérables peuvent se produire au-dessus de la couche liquéfiée.

Action sur les structures

Le mouvement de translation d’ensemble précédemment décrit est responsable de la mise en oscillation forcée des structures.

Ses composantes horizontales sont les plus dangereuses. Elles développent essentiellement des oscillations latérales de flexion d’ensemble dans les deux directions, et éventuellement des oscillations de roulis si le sol est déformable. En cas de dissymétrie dans la distribution des rigidités et/ou des masses dans la structure, elles sont en outre à l’origine d’oscillations de torsion d’axe vertical. L’asynchronisme des mouvements imposés aux divers points de la fondation (mouvements différentiels) induit des oscillations de même type, même dans les constructions parfaitement symétriques.

La composante verticale engendre des vibrations longitudinales d’extension-compression dans sa direction. Ces vibrations sont rarement dangereuses par elles-mêmes en raison des réserves de sécurité normalement offertes par les structures vis-à-vis des charges verticales, et de plus elles sont déjà en voie de décroissance lorsque les oscillations latérales atteignent leur pleine amplitude. On ne saurait pour autant les négliger car elles affectent de façon significative la résistance des éléments porteurs verticaux aux charges latérales (flexion composée) et surtout elles ont une influence particulièrement néfaste sur leur ductilité. Accessoirement, la composante verticale aggrave les oscillations latérales en cas de dissymétrie accusée dans la structure.

À l’exception des oscillations de torsion mentionnées plus haut, les effets dynamiques des mouvements différentiels n’apparaissent guère que comme des termes correctifs. En revanche, leurs effets quasi statiques, c’est-à-dire les répercussions sur la structure des déplacements relatifs imposés aux points d’appui, ne peuvent être négligés.

Échanges et dissipation d’énergie

Au cours du mouvement, le séisme injecte lors de chaque cycle une certaine quantité d’énergie dans la structure. Une partie est renvoyée dans le sol du fait des déformations imposées à ce dernier par le mouvement de la structure (phénomène d’interaction sol-structure ). Une autre partie est dissipée en chaleur (phénomène d’amortissement ) du fait que les matériaux réels sont dissipatifs même aux faibles amplitudes, du fait aussi des déformations irréversibles qu’ils sont appelés à subir et des frottements qui se produisent aux interfaces de contact entre la structure et les éléments non structuraux. Le surplus se retrouve dans la structure (énergie potentielle) sous forme d’énergie cinétique et d’énergie de déformation élastique (partie réversible des déformations), avec transformations réciproques de l’une dans l’autre. Les amplitudes croissent de cycle en cycle et cette croissance est en gros proportionnelle à celle de l’énergie potentielle, cependant que l’énergie dissipée croît de son côté comme le carré des amplitudes. La rupture survient si la structure ne peut supporter les déformations nécessaires pour que les sorties d’énergie compensent les entrées.

On conçoit dès lors l’intérêt qui s’attache à la réalisation d’éléments structuraux ductiles , c’est-à-dire capables de conserver leur fonction de résistance sous de grandes déformations du domaine post-élastique, et de tolérer que les structures puissent subir de telles déformations. Il convient cependant de noter que la répétition de quelques cycles de grande amplitude conduit souvent à une dégradation des propriétés de résistance et de dissipation d’énergie des éléments, et il convient d’en tenir compte dans les projets.

Lorsqu’en raison d’impératifs spéciaux de sécurité (cas des ouvrages à haut risque) on est conduit à éviter les excursions en phase post-élastique, l’énergie dissipée est faible et l’énergie potentielle reste élevée. Pour permettre les transformations d’énergie cinétique en énergie de déformation élastique et vice versa, on est contraint de réaliser des éléments capables de stocker des quantités importantes d’énergie sous de faibles déformations, ce qui a de lourdes conséquences pour le dimensionnement des éléments structuraux concernés.

3. Idées directrices

Fondations

Les conditions de fondation sont d’une importance capitale pour la construction parasismique. Les ouvrages fondés de façon trop superficielle ou sur des formations assez déformables, surtout en grande épaisseur, montrent de façon systématique un comportement nettement plus défavorable que les ouvrages assis sur des couches plus profondes ou sur des sols de consistance rocheuse. Cette différence est imputable aux déplacements différentiels, et éventuellement aux tassements, subis par les points d’appui et surtout à l’amplification du mouvement sismique à laquelle de tels sites donnent lieu. En semblable circonstance, il convient donc de rechercher les formations profondes, généralement plus compactes, où le mouvement sismique est moins intense. Hormis le cas du rocher franc, les points d’appui doivent être solidarisés par un réseau convenable d’entretoises à moins que les déplacements différentiels ne soient explicitement pris en compte dans les calculs.

Les fondations sur pieux posent des problèmes spéciaux du fait que, contrairement à ce qui se passe d’habitude, c’est le sol qui est moteur et qui communique le mouvement à la structure par leur intermédiaire. Les sites suspects de liquéfaction doivent faire l’objet d’études spécifiques fondées sur des investigations détaillées in situ et en laboratoire.

Structures

Les dispositions concernant les matériaux structuraux découlent des principes précédemment exposés. L’acier de charpente, naturellement doué de résistance à la traction et de ductilité, ne nécessite aucun traitement spécial. Le béton armé est doué de résistance à la traction, mais sa ductilité naturelle est insuffisante, en particulier en ce qui concerne les éléments porteurs ou précontraints; il est nécessaire d’améliorer sa ductilité par une sorte de frettage dans les zones où des déformations anélastiques sont susceptibles de se produire, en particulier au voisinage des nœuds d’ossature; ceux-ci requièrent eux-mêmes un renforcement particulier. Les maçonneries sont dépourvues d’une résistance à la traction fiable; il doit être obvié à cette déficience en leur adjoignant des éléments de béton armé; l’expérimentation montre que les panneaux de maçonnerie étroitement encadrés par des chaînages en béton armé présentent un comportement ductile, encore que leur intégrité ne puisse être toujours préservée (fissuration diagonale).

En ce qui concerne les dispositions d’ensemble, il convient de noter tout d’abord qu’il est nécessaire que tous les éléments porteurs soient solidarisés les uns aux autres, au besoin au moyen d’un réseau tridirectionnel de chaînages si cela ne résulte pas déjà des dispositions du projet. D’une façon générale, les hyperstatismes ont une influence favorable, la défaillance fortuite d’un élément pouvant être palliée par le report des efforts sur les éléments voisins.

Il y a intérêt à ce que le parti constructif soit aussi simple et homogène que possible: indépendamment des difficultés de calcul qu’elles soulèvent, les formes irrégulières en plan ou en élévation et les dissymétries, structurales ou autres, engendrent des oscillations et sollicitations parasites dont la prise en compte peut renchérir beaucoup le coût de la construction. Les discontinuités accusées dans la distribution en hauteur des rigidités ou des masses posent aussi des problèmes. Les classiques villas sur pilotis sont parmi les constructions les plus dangereuses.

Calculs

Le calcul d’une structure parasismique nécessite la détermination de sa réponse à l’action sismique spécifiée, ou à tout le moins l’évaluation des maximums de certains éléments de cette réponse. Les principales difficultés sont soulevées par le problème de l’interaction entre le sol et la structure et par le comportement anélastique des éléments structuraux.

Le mécanisme de l’interaction sol-structure a été évoqué plus haut. Il peut être présenté sous une autre forme: le mouvement sismique est spécifié au moyen d’accélérogrammes recueillis en champ libre, c’est-à-dire en l’absence de tout ouvrage sur le site; au voisinage immédiat de l’ouvrage et dans son proche voisinage, le mouvement sismique est perturbé par la présence même de la construction, de sorte que la réponse obtenue en supposant la base de la structure animée du mouvement de champ libre ne constitue qu’une approximation. La difficulté du problème est aggravée par le comportement non linéaire des sols.

La solution complète de ce problème, même en phase sub-élastique, exige de longs développements mathématiques et nécessite la mise en œuvre de moyens de calcul extrêmement puissants. La pratique des calculs montre que le phénomène d’interaction présente une certaine importance dans le cas des ouvrages lourds et massifs (grands barrages, îlots nucléaires des centrales atomiques) pour lesquels il se traduit généralement par une réduction des principaux éléments de la réponse. Il est moins sensible dans les constructions de type plus courant, et son influence est très souvent favorable. Dans certaines conditions, il s’exerce dans un sens défavorable mais la majoration de la réponse excède alors rarement quelques pour-cent.

La difficulté de la prise en compte du comportement des structures dans le domaine post-élastique vient de ce que les problèmes ne sont plus linéaires.

L’approche la plus générale consiste à introduire l’excitation sous la forme des accélérogrammes de ses trois composantes, et les propriétés mécaniques de la structure sous la forme des diagrammes déformations-sollicitations des différents éléments sous leur forme complète. Le calcul est effectué pas à pas par brefs intervalles de temps. Le principe de superposition n’étant pas applicable, les trois composantes doivent être introduites simultanément, et l’opération doit être répétée pour plusieurs mouvements sismiques distincts afin d’envelopper tous les cas.

Malgré son apparente rigueur, cette méthode soulève des objections sérieuses: la dispersion spatiale des propriétés des matériaux dans la structure n’est pas prise en compte et l’histoire de la réponse peut s’en trouver modifiée; de plus, les diagrammes déformations-sollicitations se déforment de cycle en cycle au lieu de demeurer invariants, et cela de façon imprévisible puisque dépendant de toute l’histoire antérieure de la réponse. Les résultats finals sont par conséquent entachés d’incertitudes difficiles à évaluer.

On est donc conduit à utiliser le plus souvent une méthode approchée plus simple d’emploi, puisque fondée seulement sur des calculs linéaires permettant l’application de la théorie des petites oscillations.

Les variables conditionnant le dimensionnement des structures sont les valeurs maximales des déplacements relatifs des diverses masses les unes par rapport aux autres et par rapport au sol de fondation. Les forces nécessaires pour provoquer ces déformations sont plus faibles en phase post-élastique que celles qu’il faudrait mobiliser pour obtenir le même résultat si le système demeurait indéfiniment élastique et elles peuvent même plafonner à certaines valeurs si le comportement est parfaitement plastique. L’anélasticité du système joue donc en faveur d’une réduction des forces de rappel et, par voie de conséquence, des forces d’inertie dans la structure par rapport à ce qu’elles seraient en régime indéfiniment élastique.

On admet – hypothèse assez bien justifiée en pratique – que, tout en modifiant considérablement la réponse de la structure, le comportement post-élastique ne modifie pas substantiellement les maximums des déplacements relatifs. Ces derniers sont donc calculés comme si le système restait élastique quelles que soient les sollicitations qu’il subit (système fictif) et ce sont ces valeurs qui sont introduites dans les vérifications vis-à-vis des états limites de déformation. En revanche, dans les vérifications de résistance, les forces élastiques obtenues dans ce modèle fictif sont remplacées par des valeurs plus faibles résultant de leur division par un coefficient dépendant de la ductilité et d’autres propriétés mécaniques de l’élément considéré ainsi que de la structure dans son ensemble. Ces coefficients sont déterminés à partir de l’expérimentation et par étalonnage sur le comportement in situ de structures réelles à l’occasion de séismes. Ils sont donnés par les codes de construction et peuvent varier de 1 (cas des structures ne possédant pratiquement pas de ductilité ou que l’on veut maintenir dans le domaine élastique) à 4 pour les ossatures en béton armé spécialement traitées et 5 pour les ossatures métalliques.

On est ainsi ramené à un problème linéaire, ce qui permet tout d’abord d’étudier séparément les effets de chaque composante, ensuite d’appliquer les méthodes de la théorie des petites oscillations autour d’un état d’équilibre – en particulier l’analyse modale exposée au paragraphe suivant –, et enfin de remplacer les accélérogrammes par leur spectre en vue du calcul direct des maximums de réponse.

4. Théorie de la réponse élastique

Les diverses masses composant une structure ou présentes dans cette dernière peuvent être modélisées sous la forme d’un certain nombre de solides élémentaires liés élastiquement les uns aux autres et présentant chacun un certain nombre de degrés de liberté de translation et de rotation. Si on désigne par n le nombre de paramètres strictement nécessaires pour définir la configuration du système à tout instant, le système constitue un oscillateur à n degrés de liberté.

Dans les structures réelles, les amortissements sont surtout de type hystérétique et de friction. Pour obtenir des équations intégrables, on les modélise sous la forme d’un amortissement visqueux, c’est-à-dire dans lequel les forces d’amortissement sont proportionnelles aux vitesses relatives et de sens opposé. Les constantes de proportionnalité (coefficients d’amortissement) sont déterminées de façon à assurer l’équilibre global du bilan des échanges d’énergie.

Dans ce qui suit, les structures sont supposées rigidement liées à un sol indéformable (pas d’interaction sol-structure).

Réponse de l’oscillateur simple

On considère le système élémentaire représenté dans la figure 5 et composé d’une masse m sans dimension (pas d’inertie de rotation) fixée sur une tige élastique sans masse encastrée dans le sol. Le système est rapporté aux axes Oxz liés au sol. Lorsqu’il est soumis à une excitation agissant dans ce plan, il décrit des oscillations dans le plan de figure. Aux faibles amplitudes sa configuration est définie à tout instant au moyen d’un seul paramètre: l’élongation x (t ).

Lorsqu’on écarte la masse de sa position d’équilibre d’une longueur x , elle est soumise à une force de rappel élastique f él = 漣 kx (k : constante de rappel ou de rigidité). Lorsqu’elle est en mouvement, elle est en outre soumise à une force d’amortissement f am = 漣 c face="EU Updot" 來 (c : constante d’amortissement). La période propre des oscillations libres non amorties est T = 2 神 連m /k , à laquelle correspond la pulsation 諸 = 連k /m , et l’amortissement critique du système est c 0 = 2 連km .

Dans le mouvement sismique, le repère mobile Oxz est animé par rapport au repère absolu de référence de la mécanique 行XZ d’un mouvement défini par le diagramme des accélérations du sol en fonction du temps 塚(t ) (accélérogramme). L’application de la loi fondamentale de la dynamique dans le trièdre absolu donne l’équation du mouvement sous la forme:

dont la solution, compte tenu des conditions initiales x (0) = 0 et face="EU Updot" 來 (0) = 0, est donnée par:

Dans cette expression, 精 est une variable d’intégration et h (t ) une fonction de transfert définie par:

où l’on a posé 﨣 = c /c 0 (amortissement rapporté à l’amortissement critique) et 諸 = 諸 連1 漣 﨣2 (pseudo-pulsation des oscillations libres amorties).

La vitesse dans le repère Oxz (vitesse relative ) est donnée par:

avec:

L’accélération absolue (dans le trièdre fixe) a pour expression:

Ces expressions permettent de calculer en particulier le maximum des valeurs absolues du déplacement relatif d m , de la vitesse relative vm et de l’accélération absolue a m . Comme les valeurs de l’amortissement 﨣 sont toujours faibles (quelques pour-cent), on peut poser a m = 諸2 d m , et, au même degré de précision, vm = 諸d m . Le paramètre 靖 = a m /g apparaît alors comme le coefficient qui, appliqué au poids mg de la masse m , donne la force statique produisant la même déformation maximale que l’excitation dynamique (coefficient sismique ). De son côté l’expression vm 2 donne le maximum de l’énergie potentielle injectée par le séisme dans le système par unité de masse.

Spectre de réponse

Les expressions qui précèdent ne font intervenir que les paramètres 諸 (ou de façon équivalente T) et 﨣, lesquels suffisent par conséquent pour caractériser tous les oscillateurs possibles. Un accélérogramme étant donné, on peut, pour une valeur particulière de 﨣, tracer un diagramme des valeurs de a m (ou vm , ou d m ) en fonction de T. On obtient ainsi le spectre de réponse des accélérations (ou des vitesses ou des déplacements) de l’accélérogramme pour la valeur 﨣 (fig. 6).

En répétant l’opération pour diverses valeurs de 﨣, on dispose d’un graphique permettant de déterminer par simple lecture la réponse maximale d’un oscillateur simple à l’excitation considérée. On notera que les spectres d’accélérations, de vitesses, de déplacements se déduisent facilement l’un de l’autre à partir des relations liant a m , vm et d m par l’intermédiaire de 諸.

L’ordonnée à l’origine du spectre d’accélération est égale à l’accélération maximale du sol a max.

Le spectre de réponse est un moyen de résumer la partie la plus importante de l’information contenue dans un accélérogramme et il trouve son application dans l’étude des éléments maximaux de la réponse de l’oscillateur multiple (cf. Réponse de l’oscillateur multiple ). Lorsque l’on dispose d’un nombre important de spectres différents, on peut, par une mise à l’échelle convenable, les rapporter à la même valeur de a max et en dériver un spectre de calcul par superposition. Pour chaque valeur de T l’ordonnée retenue est en général non pas l’ordonnée maximale, ce qui est jugé trop conservatif, mais celle correspondant à la moyenne plus un écart type, ce qui revient à négliger le fractile 16 p. 100 de la distribution. Le spectre résultant est convenablement lissé (fig. 7). Les codes donnent souvent des représentations plus schématiques.

Réponse de l’oscillateur multiple

Dans le cas le plus général, une structure soumise à un mouvement sismique agissant dans un certain plan vertical répond non seulement dans ce plan mais aussi perpendiculairement à ce plan, et les masses qui le composent peuvent subir non seulement des translations mais aussi des rotations. Pour la clarté de l’exposé, on ne considère dans ce qui suit que le cas d’une structure présentant des degrés de liberté de translation horizontale dans le plan de figure, mais la démarche est absolument générale dans les autres cas.

Une telle structure est modélisée sous la forme représentée dans la figure 8. Elle comporte n masses m r (r = 1, 2, ... n ) dont la position à l’instant t est définie par x r (t ). Du point de vue mécanique, la structure est définie par ses coefficients de rigidité k rs . Le coefficient k rs se définit comme la force qu’il faut appliquer à la masse m s pour la maintenir en place lorsque, toutes les autres masses étant aussi maintenues en place, on écarte la masse m r d’une longueur unité à partir de sa position d’équilibre; k rr est la force à appliquer à la masse m r pour la déplacer, dans ces conditions, de la longueur unité.

Le système est comme précédemment rapporté à un repère mobile Oxz lié au sol. On désigne par M la matrice diagonale de terme général m r , K la matrice de rigidité, symétrique d’après le théorème de Maxwell, de terme général k rs , C la matrice d’amortissement, de terme général c rs (à laquelle il convient de donner, au besoin par minoration de certains termes, une forme convenable pour que les équations soient intégrables), X la matrice-colonne de terme général x r (t ), I la matrice-colonne formée de n termes égaux à 1.

Le système présente n modes principaux d’oscillation (oscillations libres harmoniques non amorties) dont les pulsations 諸i (i = 1, 2, ..., n ) sont les racines carrées des valeurs propres de la matrice dynamique Q = M-1K, et dont les déformées, définies à une constante de proportionnalité près, sont données par les coordonnées a ri des vecteurs propres correspondants Ai . On a les relations:

et

qui généralisent les expressions analogues données pour l’oscillateur simple.

Les modes sont numérotés dans l’ordre des périodes décroissantes, celui dont la période est la plus basse étant désigné parfois comme le mode fondamental. La figure 8 donne l’allure des déformées dans les différents modes de vibration.

L’équation fondamentale de la dynamique appliquée à la masse m r dans le trièdre absolu de référence donne pour équation du mouvement:

soit, pour l’ensemble du système, l’équation matricielle:

La résolution de cette équation donne le mouvement de la masse m r sous la forme:

dans laquelle on a posé 猪i = Ai TMI/Ai TMAi et où h i (t ) est la fonction de transfert déjà définie pour l’oscillateur simple avec 諸 = 諸i et 﨣 = 﨣i . On reconnaît dans l’intégrale figurant dans cette expression la réponse x i (t ) de l’oscillateur simple de pulsation 諸i et d’amortissement 﨣i :

La réponse de chaque degré de liberté apparaît ainsi comme une combinaison linéaire des réponses de n oscillateurs simples dont les périodes propres sont celles des modes principaux d’oscillation du système. Son histoire peut être obtenue directement à partir de l’accélérogramme 塚(t ).

Si l’on ne s’intéresse qu’au maximum de la réponse, il peut être fait usage du spectre de réponse de l’accélérogramme 塚(t ) ou, dans les applications pratiques, d’un spectre de calcul.

Si l’on désigne par d Mi l’ordonnée du spectre correspondant aux valeurs 諸i et 﨣i une borne supérieure est donnée par:

mais cette valeur est manifestement trop défavorable. On adopte généralement la valeur donnée par la combinaison dite de la moyenne quadratique:

dont la probabilité de réalisation correspond sensiblement à la moyenne plus un écart type pour l’ensemble des cas possibles.

En fait, les déplacements maximaux des diverses masses par rapport au sol ne sont pas les seuls paramètres à considérer pour le dimensionnement des structures: il convient de prendre en compte aussi les déplacements relatifs d’une masse par rapport à une autre. En désignant par ( 嗀rs )i le déplacement relatif maximal de la masse m r par rapport à la masse m s dans le mode i , on a:

et, pour l’ensemble des modes:

La pratique montre que dans les constructions usuelles c’est le mode fondamental qui fournit la plus grande partie des déplacements par rapport au sol (de 60 à 80 p. 100). Les modes supérieurs, principalement le deuxième et le troisième, sont dangereux par les déplacements relatifs qu’ils occasionnent entre les masses.

Encyclopédie Universelle. 2012.

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